ให้กดเครื่องคิดเลขตามลำดับดังนี้

2

+

3

X

4

=

?

Q ถ้าผลลัพธ์คือ 20 แสดงว่าเครื่องคิดเลขมีตรรกะการคิดแบบ เลขคณิต (คิดเลขแบบเด็กเล็กๆ)

R

เครื่องคิดเลขชนิด เลขคณิต

ไม่มีปุ่มฟังก์ชันที่ซับซ้อน

ถ้าผลลัพธ์คือ 14 แสดงว่าเครื่องคิดเลขมีตรรกะการคิดแบบ พีชคณิต (คิดเลขแบบเด็กโตแล้ว)

เครื่องคิดเลขชนิด พีชคณิต

มักมีปุ่มฟังก์ชันต่างๆ

เครื่องคิดเลขชนิด เลขคณิต (arithmetic) จะทำจากทางซ้ายไปทางขวาเสมอ โดยไม่คำนึงว่าเครื่องหมายใดมีลำดับความสำคัญมากกว่ากัน แต่เครื่องคิดเลขชนิด พีชคณิต (algebra) จะทำ ´, ¸ ก่อน โดยถ้าเครื่องหมายสองตัวนี้อยู่ด้วยกันก็จะทำจากทางซ้ายไปทางขวา แล้วจึงทำ +, - ทีหลัง ดังนั้น การคำนวณตัวเลขข้างต้น จะต้องคิดแบบพีชคณิตดังนี้ 2 + 3 ´ 4 = 2 + 12 = 14

ดังนั้นเครื่องคิดเลขชนิด เลขคณิต ให้ทำดังนี้

3

X

4

+

2

=

14

เรื่องอื่นๆที่นำเสนอ ( ข้อสังเกต ตัวหนังสือสีดำบางแห่งอาจจะอยู่ต่ำกว่าความเป็นจริง )
การตรวจสอบชนิดของเครื่องคิดเลข การคำนวณดอกเบี้ย	สรุปสูตรดอกเบี้ย คิดอย่างไรจึงจะเรียนเรื่องดอกเบี้ยให้ได้ผล
การใช้เครื่องคิดเลข	แนวข้อสอบเรื่องดอกเบี้ย (สำหรับนศ.ที่เรียน MA101)

ก

ารคำนวณดอกเบี้ย โดยเฉพาะดอกเบี้ยทบต้น จำเป็นต้องใช้เครื่องคิดเลข ซึ่งการได้รู้จักชนิดของเครื่องคิดเลข และใช้มันอย่างมีประสิทธิภาพ จะอำนวยประโยชน์ต่อการคำนวณดอกเบี้ยเป็นอย่างยิ่ง ดังนั้น ในเอกสารชุดนี้ จึงเริ่มต้นด้วยการตรวจสอบชนิดของเครื่องคิดเลข เทคนิคการใช้เครื่องคิดเลข และแนวทางการทำข้อสอบเรื่องดอกเบี้ย เพื่อให้ผู้เรียนมีความคุ้นเคยกับการใช้เครื่องคิดเลขในการคำนวณดอกเบี้ย การสอบปลายภาคเรื่องดอกเบี้ยในวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐานทุกครั้งจำเป็นต้องใช้สูตรทั้งหมดที่ได้นำมาเสนอนี้ ดังนั้น หากนักศึกษาที่เรียนวิชาดังกล่าวได้ฝึกใช้เครื่องคิดเลขตามคำแนะนำในเอกสารชุดนี้แล้ว ผู้เขียนเชื่อว่านักศึกษาจะสามารถคำนวณดอกเบี้ยได้ทุกคน

สรุปสูตรดอกเบี้ย (Interest: I)

1. ดอกเบี้ยคงต้น (simple)

ดอกเบี้ยคงต้นคือ I = prt

เงินรวมคือ S = P + I = P(1+rt) โดย t มีหน่วยเป็นปีเสมอ

2. ดอกเบี้ยทบต้น (compound)

S =, I = S – P และ r_e =

เมื่อ ,, c คือ จำนวนครั้งที่ทบต้นในเวลา 1 ปี

และ r_e คือ อัตราดอกเบี้ยที่มีผล (effective) ในเวลา 1 ปี

3. เงินผ่อน (installment)

เงินผ่อนรายงวดแบบไม่ลดต้นไม่ลดดอก (flat rate) คือ R =

เงินผ่อนรายงวดแบบลดต้นลดดอกคือ R = P

เงินต้นคงเหลือหลังผ่อนไปแล้ว k งวดคือ P =

ดอกเบี้ยคือ I = nR – P

การใช้เครื่องคิดเลข

การคำนวณดอกเบี้ยจากสูตรข้างต้น ผู้เรียนจะต้องมีความสามารถในการใช้เครื่องคิดเลข เพื่อคำนวณค่าให้ได้ตั้งแต่ระดับพื้นฐาน จนถึงระดับที่ตัวส่วนมีความซับซ้อน ดังนี้

1. การทำเลขยกกำลังที่เป็นบวก

2. การหารเศษส่วนธรรมดา (ตัวส่วนไม่มีความซับซ้อน)

3. การทำเลขยกกำลังที่เป็นลบ

4. การหารเศษส่วนเมื่อตัวส่วนมีความซับซ้อน

1. การทำเลขยกกำลังที่เป็นบวก

เลขยกกำลังคือ a^b = a´a´a´…´a หมายถึง a คูณกันจำนวน b ครั้ง (มี a อยู่ b ตัว)

ตัวอย่าง 1 จงหาค่า 2³

วิธีที่ 1 วิธีปกติ

2

´

2

´

2

=

8.

วิธีที่ 2 ใช้ฟังก์ชันยกกำลัง (x^y) ดังนี้

2

x^y

3

=

8.

วิธีที่ 3 กดเครื่องหมาย "´” สองครั้ง แล้วกด "=” เป็นจำนวนน้อยกว่ากำลังอยู่ 1 ครั้ง ดังนี้

2

´

´

=

=

8. ซึ่งมีค่าเท่ากับ 2´2´2 (กด "=" จำนวน 2 ครั้ง เพราะกำลังคือ 3)

เครื่องคิดเลขที่ไม่มีฟังก์ชัน ให้กดฐานก่อน ตามด้วยการกดคูณสองครั้ง แล้วจึงกด "=" น้อยกว่ากำลังอยู่หนึ่งครั้ง ดังนั้นวิธีการกด a^b ก็คือ ให้กดฐาน a และกดคูณสองครั้ง แล้วจึงกด "=" จำนวน b - 1 ครั้ง เช่น การหาค่า 2¹⁰ ให้กดฐานคือ 2 ตามด้วยการกดคูณสองครั้ง แล้วจึงกดยกกำลัง คือ การกด "=" จำนวน 9 ครั้ง เป็นต้น จงสังเกตการหาค่า 2⁴ และ 2¹⁰ ต่อไปนี้ (ให้ผู้เรียนทดลองกดดู)

2^4คือ

2

´

´

=

=

=

16.

2^10คือ

2

´

´

=

=

=

=

=

=

=

=

=

1024.

ตัวอย่าง 2 จงหาค่า (1.987654321)³

ถ้ากดตาม วิธีที่ 1 จะเสียเวลา เพราะต้องกดฐาน 1.987654321 ซ้ำ ๆ กันถึง 3 ครั้ง

วิธีที่ 2 ใช้ฟังก์ชันยกกำลัง	1.987654321	x^y	3	=	7.852764465
วิธีที่ 3 ใช้วิธีกดคูณสองครั้ง	1.987654321	´	´	=	=	7.852764465

หมายเหตุ วิธีที่ 3 มีประโยชน์สำหรับเครื่องคิดเลขที่ไม่มีฟังก์ชันยกกำลัง (x^y)

2. การหารเศษส่วนธรรมดา (ตัวส่วนไม่มีความซับซ้อน)

ตัวอย่าง จงหาค่า

วิธีที่ 1 วิธีปกติ

2

¸

3

=

0.666666666

วิธีที่ 2 การใช้ฟังก์ชัน 1/X

การกดปุ่มฟังก์ชัน 1/X ถ้าสัญลักษณ์ 1/X อยู่บนปุ่มใดก็กดปุ่มนั้นได้เลย แต่ถ้าถ้าสัญลักษณ์ 1/X ไม่อยู่บนปุ่ม ก็ให้กดปุ่ม Shift ก่อน โดยเศษส่วนสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของผลคูณได้ดังนี้

= หรือ (ในที่นี้ 1/3 ก็คือ 1/X นั่นเอง)

การกดเครื่องคิดเลขให้กดตัวส่วนก่อน แล้วจึงใช้ฟังก์ชัน 1/X ดังนั้นการกด ทำได้ดังนี้

3	Shift	1/X	´	2	=	0.666666666
ส่วน	ใช้ 1/X

3. การทำเลขยกกำลังที่เป็นลบ

การลบกัน ใช้ปุ่ม

-

และเลขลบหรือกำลังลบ ใช้ปุ่ม

±

หรือปุ่ม

+/-

แล้วแต่เครื่องคิดเลข

ตัวอย่าง จงหาค่า

วิธีที่ 1 เครื่องคิดเลขที่มีฟังก์ชันยกกำลัง ให้กดฐาน กดกำลัง แล้วจึงกดเครื่องหมาย ดังนี้

2	X^Y	3	±	=	0.125
ฐาน	กำลัง 3		(โดย ± คือ การใส่เครื่องหมายลบหน้าเลข 3)

วิธีที่ 2 ใช้สมบัติ = แล้วคำนวณตามรูปแบบทางขวามือ

ä เครื่องที่มีฟังก์ชัน 1/X ให้หาค่า 2³ ก่อน แล้วจึงใช้ฟังก์ชัน 1/X ดังนี้

2	´	´	=	=	Shift	1/X	=	0.125
หา 2^3					ใช้ 1/X

ä เครื่องที่ไม่มีฟังก์ชัน 1/X ให้หา 2³ ก่อน ซึ่งได้ 8 แล้วจึงทำ 1 ¸ 8 จะได้ 0.125

(ให้ผู้เรียนทดลองคำนวณดู)

วิธีที่ 3 ให้กดเครื่องหมาย " ¸” สองครั้งแล้วกด "=” เป็นจำนวนมากกว่ากำลัง (โดยไม่คิดเครื่องหมายลบ) อยู่ 1 ครั้ง ดังนั้น ให้กดเครื่องหมาย "=” จำนวน 4 ครั้งดังนี้

2

¸

¸

=

=

=

=

0.125

ตัวอย่างอื่นๆ

คือ

2

¸

¸

=

=

=

=

=

0.0625 กด "=" จำนวน 5 ครั้ง

คือ

2

¸

¸

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

0.0009765625

4. การหารเศษส่วนเมื่อตัวส่วนมีความซับซ้อน

ตัวอย่าง จงหาค่า

วิธีที่ 1 เครื่องที่มีวงเล็บ ให้เขียน = แล้วคำนวณทางขวามือดังนี้

10

¸

(

1

-

2

X^Y

3

±

)

=

11.42857143

วิธีที่ 2 เครื่องที่ไม่มีวงเล็บ แต่มีฟังก์ชัน 1/X ให้เขียน = แล้วคำนวณดังนี้

1

-

2

X^Y

3

±

=

Shift

1/X

´

10

=

11.42857143

ทำส่วน

ใช้ 1/X

คูณ 10

วิธีที่ 3 เครื่องที่ไม่มีวงเล็บและไม่มีฟังก์ชัน 1/X

ให้เขียน = = แล้วทำดังนี้คือ ทำ ก่อน

จะได้ 0.875 แล้วจึงทำ 10 - .875 ซึ่งจะได้ 11.42857143 (เสียเวลามากกว่า 2 วิธีแรก)

คิดอย่างไรจึงจะเรียนเรื่องดอกเบี้ยให้ได้ผล

เคล็ดลับในการเรียนเรื่องดอกเบี้ยให้ได้ผลก็คือ การคิดดังนี้

1. สมมุติว่าตนเองเป็นเจ้าของกิจการ SME ชนิดหนึ่ง และต้องการคำนวณเงินผ่อนให้ลูกค้า โดยคิดดอกเบี้ยแบบแฟลตเรท จะคิดได้อย่างไร หรือ อาจไม่คิดเอง แต่ต้องการสอนให้พนักงานคำนวณเงินผ่อนดังกล่าวแทน จะสอนเขาได้อย่างไร (สำหรับทำโจทย์ข้อ 3.1)

2. สมมุติว่าตนเองเป็นพนักงานสินเชื่อของธนาคารแห่งหนึ่งและมีหน้าที่คำนวณเงินผ่อนให้ลูกค้าโดยธนาคารคิดดอกเบี้ยแบบลดต้นลดดอกจะทำได้อย่างไร (สำหรับทำโจทย์ข้อ 3.2 หวังว่าผู้เรียนคงไม่คิดลาออกจากธนาคารด้วยเหตุผลคิดดอกเบี้ยไม่เป็นนะ เสียชื่อสถาบันที่เรียน)

3. สมมุติว่ามีผู้มาขอความช่วยเหลือ โดยมาขอคำปรึกษาว่าเขาควรจะเลือกลงทุนกับแหล่งใดจึงจะได้ดอกเบี้ยมากกว่ากัน ถ้าแหล่งแรกจ่ายดอกเบี้ยด้วยอัตรา 6% ทบต้นทุกเดือน และแหล่งที่สองจ่ายดอกเบี้ยด้วยอัตรา 6.05% ทบต้นทุกหกเดือน (สำหรับทำโจทย์ข้อ 3.5)

4. สมมุติว่าตัวนักศึกษาเองผ่อนรถยนต์มาแล้ว 40 งวด และต่อมาไม่ต้องการผ่อนอีกต่อไปแล้ว อยากทราบว่าจะต้องจ่ายเงินต้นคงเหลือเท่าใดจึงจะหมดหนี้สิน (สำหรับทำโจทย์ข้อ 3.6)

แนวข้อสอบ เรื่อง ดอกเบี้ย (ข้อ 3)

โจทย์สำหรับข้อ 3.1 - 3.3 และข้อ 3.6 รถยนต์ยี่ห้อ X ราคาเงินสด 500,000 บาท

ผ่อนชำระรายเดือนเป็นเวลา 4 ปี อัตราดอกเบี้ย 6%

3.1 ถ้านายสมหวังต้องการซื้อรถยี่ห้อ X จงหาจำนวนเงินผ่อนรายเดือน ถ้าบริษัทคิดดอก

เบี้ยแบบแฟลตเรท

3.2 ถ้านายสมหวังกู้เงินจากธนาคารเป็นจำนวนเงินเท่ากับราคารถ เพื่อซื้อรถเป็นเงินสด

แล้วผ่อนรายเดือนกับธนาคารเป็นเวลา 4 ปี โดยธนาคารคิดดอกเบี้ย 6% ทบต้นทุก

เดือน จงหาจำนวนเงินผ่อนรายเดือน

3.3 ดอกเบี้ยในข้อ 3.1 และ 3.2 ต่างกันกี่บาท

3.4 ถ้านางสมหญิงนำเงินสด 500,000 บาท ไปฝากธนาคาร จงหาดอกเบี้ยเมื่อครบ 4 ปี

ถ้าธนาคารคิดดอกเบี้ย 6% ทบต้นทุกครึ่งปี

3.5 ในเวลา 1 ปี ดอกเบี้ยแบบใดมากกว่ากันระหว่างอัตรา 6% ทบต้นทุกเดือนกับอัตรา 6.05% ทบต้นทุกหกเดือน (ทุกครึ่งปี)

3.6 จากข้อ 3.2 ถ้านายสมหวังชำระไปแล้ว 40 งวด จงหาเงินต้นคงเหลือ

วิธีทำ 3.1 ถ้าบริษัทคิดดอกเบี้ยแบบแฟลตเรทแล้ว เงินผ่อนรายงวดคือ

เงินรวมแบบคงต้นคิดได้ 2 วิธีคือ วิธีที่ 1 ใช้สูตร S = P + I และวิธีที่ 2 ใช้สูตร S = P(1+rt)

วิธีที่ 1 I = prt = 500,000(6%)(4) = 500,000()(4) = 500,000´6¸100´4

การกดเครื่องคิดเลขเพื่อหาดอกเบี้ย ทำได้ดังนี้

500000

´

6

¸

100

´

4

=

120000.

เงินรวมแบบคงต้น S = P + I = 500,000 + 120,000 = 620,000

จำนวนงวด = 4 ปี ๆ ละ 12 งวด = 48 งวด

ดังนั้น เงินผ่อนรายงวดคือ = = 12,916.67 บาท

วิธีที่ 2 เงินรวมแบบคงต้น S = P(1+rt) = 500,000(1+6%4)

= 500,000(1+4) = 500,000(1+)

ลำดับการคำนวณคือ ให้ทำในวงเล็บก่อน โดยถ้ามี ´, ¸ อยู่ด้วยกัน ให้ทำจากซ้ายไปขวา ดังนี้

6

¸

100

´

4

+

1

=

´

500000

=

620000.

หรือ

500000

´

(

1

+

6

¸

100

´

4

)

=

620000.

ขั้นตอนต่อไป การหาเงินผ่อนรายงวด ก็คิดแบบวิธีที่ 1 #

3.2 นายสมหวังกู้เงินจากธนาคารเป็นจำนวนเงินเท่ากับราคารถ เพื่อซื้อรถเป็นเงินสด แล้วผ่อน

รายเดือนกับธนาคารเป็นเวลา 4 ปี โดยธนาคารคิดดอกเบี้ย 6% ทบต้นทุกเดือน คิดได้ดังนี้

เงินต้นคือ P = 500,000 อัตราดอกเบี้ยต่องวดคือ i == = = = 0.005

และจำนวนงวดคือ n = ct = (12)(4) = 48 โดยธนาคารจะคำนวณดอกเบี้ยแบบลดต้นลดดอกเสมอ ดังนั้น เงินผ่อนรายงวดคือ

R = P= 500,000 = 500,000

การใช้เครื่องคิดเลข ให้ทำในวงเล็บก่อน แล้วจึงคูณ 500,000 ดังนี้

.005

¸

(

1

-

1.005

X^Y

48

±

)

´

500000

=

11742.51453

ดังนั้น เงินผ่อนรายงวดคือ 11,742.51 บาท (วิธีอื่น ๆ ให้ผู้เรียนทดลองคำนวณดูเอง) #

3.3 ดอกเบี้ยในข้อ 3.1 และ 3.2 ต่างกันกี่บาท

ข้อ 3.1 ดอกเบี้ย I = nR – P = 48´12,916.67 – 500,000 = 120,000

ข้อ 3.2 ดอกเบี้ย I = nR – P = 48´11,742.51 – 500,000 = 63,640.48

ดอกเบี้ยต่างกัน 120,000 - 63,640.48 = 56,359.52 บาท #

3.4 นางสมหญิงนำเงินสด 500,000 บาท ไปฝากธนาคาร และต้องการหาดอกเบี้ยเมื่อครบ 4 ปี

โดยธนาคารคิดดอกเบี้ย 6% ทบต้นทุกครึ่งปี สามารถทำได้ดังนี้

S = = = = =

1.03

X^Y

8

´

500000

=

633385.0407 หรืออาจกดแบบต่อไปนี้ก็ได้คือ

500000

´

1.03

X^Y

8

=

633385.0407

ดังนั้น ดอกเบี้ยคือ I = S – P = 633,385 – 500,000 = 133,385 บาท #

3.5 ในเวลา 1 ปี ดอกเบี้ยแบบใดมากกว่ากัน ระหว่างอัตรา 6% ทบต้นทุกเดือนกับอัตรา 6.05% ทบต้นทุกหกเดือน

ä อัตราดอกเบี้ย 6% ทบต้นทุกเดือน จะมีผลในเวลา 1 ปีดังนี้ (ทบต้นทุกเดือน c = 12)

r_e = = = =

1.005

X^Y

12

-

1

=

0.061677811

อัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงในเวลา 1 ปีคือ 0.0617´100 = 6.17%

ä อัตราดอกเบี้ย 6.05% ทบต้นทุกหกเดือนจะมีผลในเวลา 1 ปีคือ 6.14%

(ให้ผู้เรียนทดลองคำนวณดูเอง)

ดังนั้น ในเวลา 1 ปี อัตราดอกเบี้ย 6% ทบต้นทุกเดือน ซึ่งเทียบต่อปีได้ 6.17% จะมีค่ามากกว่าอัตราดอกเบี้ย 6.05% ทบต้นทุกหกเดือนซึ่งเทียบต่อปีได้ 6.14% #

3.6 จากข้อ 3.2 ถ้านายสมหวังชำระไปแล้ว 40 งวด จงหาเงินต้นคงเหลือ

ในที่นี้ k = 40, n = 48, i = 0.005, R = 11,742.51

เงินต้นคงเหลือหลังผ่อนไปแล้ว 40 งวดคือ

= =

การใช้เครื่องคิดเลข ให้ทำในวงเล็บ โดยทำตัวเศษก่อน ตามด้วยการหาร แล้วจึงคูณตัวหน้าคือ 11,742.51 ดังนี้ (ลำดับการคำนวณ สามารถทำได้หลายวิธี ผู้เรียนควรเลือกวิธีที่ตัวเองถนัด)

1	-	1.005	X^Y	8	±	=		¸	.005		´	11742.51		=	91861.17706
การทำตัวเศษ							การหาร			การคูณตัวหน้า			การแสดงผลลัพธ์

ดังนั้น เงินต้นคงเหลือเมื่อชำระไปแล้ว 40 งวดคือ 91,861.18 บาท #

หรืออาจคำนวณจากรูปแบบต่อไปนี้ก็ได้ โดยเขียนใหม่ แล้วคำนวณจากทางซ้ายไปทางขวา ดังนี้

=

อ้าว! ดอกเบี้ยหายไปไหนแล้วละ?

มาคลายเครียดกัน!